Liczby urojone i zespolone to fundament matematyki wyższej, który rozwiązuje problemy niemożliwe do rozwikłania w zbiorze liczb rzeczywistych. Wprowadzają one jednostkę urojoną i, umożliwiając tworzenie struktur dwuwymiarowych, które znajdują kluczowe zastosowania w fizyce, elektrotechnice oraz informatyce.
Wszyscy dobrze znamy klasyczną oś liczbową, na której znajdują się liczby naturalne, całkowite, wymierne oraz niewymierne. Tworzą one spójny zbiór liczb rzeczywistych. Co się jednak stanie, gdy spróbujemy rozwiązać proste równanie kwadratowe, takie jak:
x2 = -1
W zbiorze liczb rzeczywistych równanie to nie ma rozwiązania, ponieważ kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie daje wartości ujemnej. Aby przezwyciężyć to ograniczenie, matematycy wprowadzili pojęcie liczby urojonej.
Jej podstawą jest jednostka urojona, oznaczana symbolem i, która z definicji spełnia warunek:
i2 = -1
Dzięki temu, rozwiązaniem wspomnianego równania staje się x = i oraz x = -i. Liczby urojone to po prostu wielokrotności jednostki urojonej, np. 2i, -5i czy 1/2i.
Kiedy połączymy liczbę rzeczywistą z liczbą urojoną, otrzymujemy liczbę zespoloną. Zapisujemy ją w tzw. postaci algebraicznej:
z = a + bi
Gdzie:
Dla przykładu, w liczbie zespolonej z = 3 + 4i, częścią rzeczywistą jest 3, a częścią urojoną jest 4. Co ciekawe, każda liczba rzeczywista jest jednocześnie liczbą zespoloną (wystarczy, że jej część urojona wynosi 0).
Liczby zespolone można w bardzo intuicyjny sposób przedstawić graficznie na tzw. płaszczyźnie zespolonej (nazywanej również płaszczyzną Gaussa). Przypomina ona tradycyjny układ współrzędnych kartezjańskich, w którym:
Dzięki temu każda liczba zespolona z = a + bi jest reprezentowana jako punkt o współrzędnych (a, b). Interpretacja geometryczna pozwala nam również wyznaczyć moduł liczby zespolonej, który oznacza odległość danej liczby od początku układu współrzędnych. Obliczamy go za pomocą znanego wzoru Pitagorasa:
|z| = √(a2 + b2)
Na liczbach zespolonych możemy wykonywać wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne, postępując podobnie jak przy redukcji wyrazów podobnych w algebrze.
Aby dodać lub odjąć dwie liczby zespolone, należy osobno dodać (lub odjąć) ich części rzeczywiste oraz części urojone:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Mnożenie wykonujemy „każdy przez każdego”, pamiętając o fundamentalnej zasadzie, że i2 = -1:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
Choć liczby te wydają się czystą abstrakcją, bez nich współczesna technologia nie mogłaby istnieć. Wykorzystuje się je m.in. w: